L2 {mk. K Z 1Z 2 e 2. v 8 ě 4 ˆ 10 7 m/s. Z 2 79, e 1.6ˆ10 19 C, 9ˆ10 9 Nm 2 /C 2

Transcript

1 Ονοματεπώνυμο: Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Μηχανική Ι, Τμήμα Κ. Τσίγκανου & Ν. Βαχάκη, Ιανουαρίου Διάρκεια εξέτασης 3 ώρες, Καή επιτυχία ( = bonus ερωτήματα), ΑΜ: Να ηφθεί υπόψη η πρόοδος της 4 Δεκεμβρίου 5: ΟΧΙ ΝΑΙ αν ΝΑΙ μην απαντήσετε τα θέματα και Εχω παραδώσει εργασίες η η 3 η 4 η 5 η η 7 η 8 η 9 η η η η 3 η Θέμα ο : Σώμα μάζας m βρίσκεται μέσα σε οριζόντιο σωήνα μέσα στον οποίο μπορεί να κυά υγρό με εεγχόμενη παροχή. Θεωρώντας αμεητέα την τριβή με τα τοιχώματα του σωήνα, η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα είναι η δύναμη αντίστασης που του ασκεί το υγρό m v σχ, όπου v σχ η σχετική ταχύτητα του σώματος ως προς το υγρό. u m υ (α) Αρχικά το σώμα είναι ακίνητο και ο σωήνας γεμάτος με επίσης ακίνητο υγρό. Τη χρονική στιγμή ανοίγουμε την παροχή, οπότε το υγρό για ą κινείται μέσα στο σωήνα με (σταθερή) ταχύτητα u. Βρείτε την ταχύτητα και τη θέση του σώματος σαν συνάρτηση του χρόνου. (β) Τη χρονική στιγμή T κείνουμε την παροχή, οπότε το υγρό ακινητοποιείται (για ą T ο σωήνας παραμένει γεμάτος με ακίνητο υγρό και το σώμα επιβραδύνεται όγω της αντίστασης από το υγρό). Βρείτε την ταχύτητα του σώματος συναρτήσει της θέσης και συναρτήσει του χρόνου. (γ) Δείξτε ότι το συνοικό μήκος που διανύει το σώμα από ακινησία σε ακινησία είναι ut. Ποιο είναι το χρονικό διάστημα κίνησης του σώματος; Θέμα ο : χώματα της σήραγγας και τριβή μέτρου T µ N όπου µ ο συντεεστής τριβής οίσθησης. Μεετήστε τις κινήσεις (α) του Άξε και (β) του Λίντενμπροκ και βρείτε πως μεταβάονται οι αποστάσεις τους από το κέντρο της Γης με το χρόνο. (Και για τους δύο αρχικά r και 9r.) Ο συντεεστής τριβής δίνεται µ. (γ) Πόσα δευτερόεπτα μετά την εκκίνηση του Λίντενμπροκ πρέπει να ξεκινήσει ο Άξε ώστε να συναντηθούν στο κέντρο της Γης; Ποιος ο όγος των μέτρων των ταχυτήτων τους την στιγμή της συνάντησης; Υπόδειξη: Για ένα τρόπο ύσης θα χρειαστεί η a σ ΣF {m a ω ω rq ω v σ 9 ω r. Για ένα δεύτερο τρόπο ύσης θα χρειαστεί η έκφραση της επιτάχυνσης σε ποικές συντεταγμένες a :ϖ ϖφ 9 q ϖ ` ϖ φ : ` 9ϖ φq 9 φ. Θέμα 3 ο : Θεωρήστε το πείραμα σκέδασης uherford σωματιδίων α ( 4 He) μάζας m και θετικού φορτίου q Z e (Z, A 4), από πυρήνες χρυσού ( 97 79Au) θετικού φορτίου q Z e (Z 79, A 97) των οποίων θέουμε να υποογίσουμε την ακτίνα. (α) Ο πυρήνας του Au ευρίσκεται στην εξωτερική κυρία εστία Ε της υπερβοικής τροχιάς που διαγράφει το σωματίδιο α. y Σε μια παρααγή του μυθιστορήματος του Ιουίου Βερν «Ταξίδι στο Κέντρο της Γης» ο Άξε και ο θείος του Λίντενμπροκ ξεκινούν από την επιφάνεια της περιστρεφόμενης Γης, ο Άξε από τον βόρειο πόο και ο Λίντενμπροκ από ένα σημείο του ισημερινού, και ακοουθώντας ευθύγραμμες πορείες γιστρώντας (και όχι περπατώντας) μέσα σε σήραγγες στο εσωτερικό της Γης θέουν να συναντηθούν στο κέντρο. Η πορεία του Άξε γίνεται πάνω στον άξονα περιστροφής και άρα η μόνη δύναμη που δέχεται είναι το βάρος m g, το οποίο μεταβάεται γραμμικά με την απόσταση από το κέντρο διότι g g {q r, με g 9.8 m/s και.4 m. Ο Λίντενμπροκ όμως όγω της περιστροφής της Γης δέχεται επιπέον δύναμη κάθετης αντίδρασης N από τα τοι- α x v 8 b θ εκτρ θ 8 8θ Au

2 Αποδείξτε ότι η εξίσωση της τροχιάς που ακοουθεί το σωματίδιο α είναι rθq L {mk ` ε os θ, όπου K Z Z e και L η στροφορμή του σωματιδίου α. 4πε Θεωρήστε γνωστή την d u dθ ` u mf L u με u r. (β) Υποογίστε την εκκεντρότητα ε της υπερβοικής τροχιάς που διαγράφει το σωματίδιο α συναρτήσει της ενέργειας E, στροφορμής L και μάζας m του σωματιδίου α καθώς και της σταθεράς K. (γ) Υποογίστε την εάχιστη απόσταση r min του σωματιδίου α από τον πυρήνα του χρυσού στην εστία Ε συναρτήσει της ασυμπτωτικής ταχύτητας v 8, της παραμέτρου κρούσεως b και της μάζας m του σωματιδίου α καθώς και της σταθεράς K. (δ) Υποογίστε την γωνία εκτροπής θ εκτρ του σωματιδίου α από την αρχική του διεύθυνση συναρτήσει της παραμέτρου κρούσεως b, ασυμπτωτικής ταχύτητας v 8, μάζας m του σωματιδίου α καθώς και της σταθεράς K. (ε) Στο πείραμα παρατηρήθηκε ότι έχουμε αποκίσεις από την αναμενόμενη σκέδαση όταν η ταχύτητα v 8 ě 4 7 m/s. Αντικαθιστώντας m. 7 kg, Z, Z 79, e. 9 C, 4πε 9 9 Nm /C δείξτε ότι η εάχιστη απόσταση r min του σωματιδίου α από τον πυρήνα τότε είναι r min «7 5 m = 7 Fermi, δδ, η ακτίνα του πυρήνα χρυσού, σε συμφωνία και με τη γενική έκφραση για την ακτίνα ενός πυρήνα,.3 A {3 Fermi. Θέμα 4 ο : Οπως πιθανώς ακούσατε στις ειδήσεις την προηγούμενη εβδομάδα, πρόσφατες έρευνες υποστηρίζουν ότι υπάρχει ένας ακόμα πανήτης στο πανητικό μας σύστημα, ο 9ος Πανήτης - Χ. Εχει μάζα δεκαπάσια της Γης (M X M C ) και ευρίσκεται σε εειπτική τροχιά περί τον Ηιο, με εάχιστη απόσταση r π AU και μέγιστη r α AU από τον Ηιο (όπου AU η αστρονομική μονάδα). (α) Υποογίστε την εκκεντρότητα ε, τους ημιάξονες a και b, την περίοδο T, καθώς και την ποική εξίσωση της τροχιάς του Πανήτη - Χ. (β) Υποογίστε την ταχύτητα του Πανήτη - Χ στο αφήιο (v α ) και περιήιο (v π ) της τροχιάς του σε μονάδες της ταχύτητας της Γης περί τον Ηιο v C, υποθέτοντας ότι η τροχιά της Γης περί τον Ηιο είναι κυκική, ακτίνας AU. (γ) Υποογίστε την στροφορμή L και ενέργεια E του Πανήτη - X στη συγκεκριμένη τροχιά του, στις μονάδες της στροφορμής L C και ενέργειας E C της Γης στην κυκική τροχιά της γύρω από τον Ηιο. (δ) Αν στέναμε σε τροχιά Hohmann ένα διαστημόποιο Δ να συναντήσει τον Πανήτη - Χ όταν αυτός είναι στην απόσταση του περιηίου του, πόσο χρόνο θα έπαιρνε στο Δ να φθάσει εκεί; Δίνονται? «.45,? 7 «.5.

3 ΛΥΣΕΙΣ: Θέμα ο : (α) Εστω οριζόντιος άξονας x με αρχή στην αρχική θέση του σώματος και φορά την φορά της u. Ο νόμος Νεύτωνα m v 9 m v σχ με v vx και v σχ v u v uqx δίνει 9v u vq, διαφορική εξίσωση χωριζομένων μεταβητών που δίνει ż v ż u v d ô ln u ˇ u v ˇ ô vq u ` e. (Το απόυτο φεύγει διότι η ταχύτητα v είναι πάντα μικρότερη της οριακής u.) Στη συνέχεια βρίσκουμε τη θέση ż ż x dx ż vd u ` e d ô xq u u ` e. Ο νόμος Νεύτωνα θα μπορούσε να γραφεί σαν γραμμική μη-ομογενής διαφορική εξίσωση 9v`v u. Η ύση της ομογενούς είναι Ce, ενώ μια μερική ύση είναι η u. Άρα η γενική ύση είναι v u ` Ce. Η αρχική συνθήκη v δίνει C u, οπότε vq u ` e. Στη συνέχεια η θέση βρίσκεται όπως πριν. Εναακτικά, ο νόμος Νεύτωνα θα μπορούσε να γραφεί σαν μια δεύτερης τάξης γραμμική μη-ομογενής διαφορική εξίσωση :x ` 9x u. Η ύση της ομογενούς είναι C ` C e ενώ μια μερική ύση είναι u. Άρα η γενική ύση για τη θέση είναι x u ` C ` C e και η ταχύτητα v 9x u C e. Οι αρχικές συνθήκες x, v δίνουν C u{, C u{, οπότε xq u u ` e και vq 9x u ` e. (β) Τη χρονική στιγμή T η θέση είναι x T ut u ` e T και η ταχύτητα v T u ` e T. Μετά τη στιγμή αυτή ο νόμος Νεύτωνα m v 9 m v σχ με v vx και v σχ vx δίνει 9v v. Με 9v v βρίσκουμε τη σχέση ταχύτητας θέσης dx dx ô v v T x x T q. Η σχέση ταχύτητας χρόνου βρίσκεται από 9v ż v ż v ô v T v d ô v v e T q T. T (γ) Θέτοντας v στη σχέση ταχύτητας θέσης βρίσκουμε το συνοικό μήκος που διανύει το σώμα από ακινησία σε ακινησία x ο x T ` vt ut u ` e T ` u ` e T ut. Από τη σχέση ταχύτητας χρόνου βέπουμε ότι η ταχύτητα μηδενίζεται θεωρητικά σε άπειρο χρόνο. Πρακτικά όμως μηδενίζεται όταν T q 5, δη. το σώμα κινείται χρονικό διάστημα T ` 5{. Θέμα ο : Α τρόπος: Εστω σύστημα Oxyz που περιστρέφεται μαζί με τη Γη, με O στο κέντρο της Γης, άξονα z προς την αφετηρία του Άξε (το βόρειο πόο) και άξονα x προς την αφετηρία του Λίντενμπροκ. Άξε: r zẑ, v σ 9zẑ, a σ :zẑ, a, 9 ω, ω ω rq, ω v σ, ΣF mg {qzẑ. Ο νόμος Νεύτωνα δίνει :z ` z, δη. αρμονική ταάντωση. Με τις δεδομένες αρχικές συνθήκες η ύση είναι z os 9z?g sin και. Θα φτάσει στο κέντρο σε d χρόνο π π.4 s 9 με g 9.8 ταχύτητα μέτρου? g 7.9 km/s. Λίντενμπροκ: r xx, v σ 9xx, a σ :xx, a, 9 ω, ω ω rq ω xx, ω v σ ωẑ 9xx ω 9xŷ, ΣF mg {qxx ` Nŷ T x. Η αντίδραση N ŷ εξουδετερώνει την Coriolis αφού η ŷ συνιστώσα του νόμου Νεύτωνα δίνει N mω 9x. Λόγω της N mω 9x υπάρχει τριβή T µmω 9x v σ µmω 9xx. Άρα η x συνιστώσα v σ του νόμου Νεύτωνα δίνει :x ω x x µω 9x ô ω :x ` µω 9x ` x, δη. φθίνουσα ταάντωση. Οι ύσεις είναι εκθετικές, ανάογες του e ξ με ξ ` µωξ ` ω ô ξ µω iω όπου Ω µ ` qω ω. (Είναι g π.4 5.3!, οπότε πρα κτικά Ω.) Η γενική ύση είναι x e µω rc os Ωq ` C sin Ωqs. Χρησιμοποιώντας τις αρχικές συνθήκες x, 9x βρίσκουμε x e µω os Ωq ` µω ı Ω sin Ωq και 9x Ωe µω ` µ ω Ω sin Ωq. Θα φτάσει στο κέντρο σε χρόνο για τον οποίο o Ωq µω d Ω ô Ω π ` aran µω Ω. Αφού µω Ω «µ ω! g είναι Ω «π ` µω, δη. το αποτέεσμα είναι Ω

4 d «π ` µω. Ο χρόνος προκύπτει κατά g g µω 47.5 μεγαύτερος από τον χρόνο που θέ- g ει ο Άξε. Το μέτρο της ταχύτητας d στο κέντρο θα είναι περίπου? g e µω με «π, δη. εί- g ναι? g e µπ{q?ω {g. Ο όγος ταχυτήτων είναι?ω e µπ{q {g.97 (ο Άξε τρέχει πιο γρήγορα). Β τρόπος: Εστω αδρανειακό σύστημα Ox y z με O στο κέντρο της Γης, άξονα z από το νότιο προς το βόρειο πόο και άξονα x προς την αρχική θέση του Λίντενμπροκ. Άξε: m a ΣF με a :zẑ και ΣF mg {qzẑ, δη. :z ` z όπως πριν. Λίντενμπροκ: Κινείται στο ισημερινό επίπεδο (z ). Οι ποικές συντεταγμένες του είναι (ϖ, φ ω), όπου ω η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της Γης. Εκτός από το βάρος ασκείται στο σώμα και δύναμη N N φ από τα τοιχώματα της σήραγγας, που τον υποχρεώνει να περιστρέφεται μαζί με τη Γη, αά και τριβή οίσθησης T µ N ϖ αντίρροπη της σχετικής ταχύτητας του σώματος ως προς την σήραγγα. Άρα (με φ 9 ω, φ : ), m :ϖ ϖω q ϖ ` m 9ϖω φ mg {qϖ ϖ ` N φ ` µ N ϖ, οπότε m :ϖ ω ϖq m g ϖ ` µ N και N m 9ϖω. Αφού N mω 9ϖ η τριβή είναι T µmω 9ϖ ϖ µmω 9ϖ ϖ. Άρα :ϖ ω ϖ ω ϖ µω 9ϖ ô :ϖ ` µω 9ϖ ` ϖ, όπως πριν (με ϖ Ø x). Θέμα 3 ο : (α) Η εξίσωση που δίνει την τροχιά, θέτοντας F Z Z e 4πε r Ku, γίνεται d u dθ ` u mk και έχει L ύση u C osθ θ q mk mk. Θέτοντας C L L ε και θ (στρέφοντας κατάηα το σύστημα συντεταγμένων) βρίσκουμε u mk ` ε os θq και L άρα την ζητούμενη. (β) Η ακτινική ταχύτητα είναι 9r θ 9 dr dθ L dr mr dθ L m u K L ε sin θ, η περιστροφική r θ 9 L m u K ` ε os θq, οπότε η κινητική ενέργεια είναι L m 9r ` r θ 9 q mk `ε ` ε os θ, ενώ η L δυναμική ενέργεια είναι V Z Z e Ku 4πε r mk `ε os θq. Επομένως το οοκήρωμα ενέργειας δίνει E mv ` V mk `ε, οπότε η L L εκκεντρότητα της υπερβοικής τροχιάς του σωματιδίου α είναι ε ` L E mk. (γ) Από τις αρχικές συνθήκες (όταν η απόσταση μεταξύ α - Au είναι θεωρητικά άπειρη) η ενέργεια είναι E mv 8, η στροφορμή L mbv 8 και η εκκεντρότητα ε ` m b v8 4. Επομένως η τροχιά είναι r ` K mb v 8{K ` m b v8 4 os θ K Η εάχιστη απόσταση (για θ ) είναι r min mb v 8{K K ` ` m b v8 4. mv8 K ` m b v8 4 K (δ) Η άπειρη απόσταση (αρχική και τεική θέση του σωματιδίου α) αντιστοιχεί σε ε os θ 8. Η γωνία εκτροπής είναι θ εκτρ π θ 8 π aros ε. Η σχέση αυτή γράφεται και σαν an θ εκτρ d π an θ 8 an θ 8? ε K. os θ 8 os θ 8. mbv8 (ε) Η εάχιστη τιμή του r min αντιστοιχεί σε b και είναι min r min u K. Η αντικατάσταση δίνει για την ακτίνα του πυρήνα Z Z e mv8 4πε mv q m «7 5 m q Θέμα 4 ο : (α) Από r π ` ε και r α ε βρίσκουμε ε r α r π r α ` r π.7 και r αr π r α ` r π 34.8 AU. Ο μεγάος ημιάξονας είναι a r α ` r π 7 AU και ο μικρός b? a με a r π, ή, b? r α r π AU. Σύμφωνα με τον τρίτο νόμο του Κέπερ είναι T 9a 3. Αν μετράμε την περίοδο σε γήινα έτη και τον μεγάο ημιάξονα σε AU είναι T a 3{, επομένως η περίοδος

5 της κίνησης του Πανήτη - Χ γύρω από τον Ηιο είναι T 7 3{ 85 γήινα έτη. Η ποική εξίσωση του Πανήτη - Χ είναι r ` ε os θ, ή, r 34.8 `.7 os θ AU. (β) Η διατήρηση ενέργειας v α v π r α r π και στροφορμής v α r α v π r π αποτεούν σύστημα με άγνωστες τις ζητούμενες ταχύτητες και δίνουν GM@ r α v π r π r α ` r π q, v α r π v π. Για τη Γη ισχύει r α GM@ v C όπου r C AU. Επομένως v π d r C v C r C r α r π r α ` r π q v α και r π v π v C r α v C? 4.5. (γ) L M Xr π v π L C M C r C v C και E E C {7 M X M C 7.4. v π r π vc r C Τα ίδια προκύπτουν χρησιμοποιώντας τις εκφράσεις στο αφήιο της τροχιάς. (δ) Το διαστημόποιο ακοουθεί εειπτική τροχιά με rπ q AU και rα q AU. Επομένως ο μεγάος ημιάξονας της τροχιάς είναι a q AU και ο χρόνος κίνησης του διαστημοποίου είναι a q 3{ γήινα έτη.